Modélisation et étude mathématique de réseaux de câbles électriques

Resumo

Cette thèse porte sur la modélisation d'un réseau de câbles coaxiaux et multi-conducteurs. Ce dernier peut être mathématiquement traduit par les équations aux dérivées partielles de Maxwell qui régissent la propagation des ondes électromagnétiques en son sein ou par un modèle type circuit électrique d'inconnues - les potentiels et courants électriques- qui vérifient sur les branches du circuit l'équation des télégraphistes et sur les noeuds les lois de Kirchhoff.Si la première méthode est assez générale pour comprendre toutes sortes de défauts, elle néanmoins trop couteuse pour les applications que nous avons en tête, à savoir le contrôle non destructif. La seconde quant à elle est obtenue par une modélisation non issue de la théorie de Maxwell et est valide que si les câbles sont parfaits (cylindriques, sans pertes...). Nous avons établi diverses modèles 1D venant généraliser l'équation des télégraphistes et les lois de Kirchhoff pour y incorporer diverses défauts (géométrie, pertes, effet de peau, caractéristique des matériaux variables) tant sur les câbles que dans les jonctions. Ceux-ci sont obtenus via des analyses asymptotiques (classiques, multi-échelles, raccordées) des équations 3D de Maxwell en considérant certains paramètres (dimensions transverses des câbles par rapport à leurs longueurs, conductivité du milieu diélectrique par rapport à celle du métal des âmes, petite taille de la zone de jonction par rapport à l'ensemble du réseau) extrêmement petits.Une des difficultés mathématiques tient en ce que les domaines que nous prendrons en compte (sections des câbles, jonctions) ne sont aucunement simplement connexes, nous obligeant ainsi à remanier quelques outils standard tel les décompositions en potentiels.