JESUS ANTONIO
ALVAREZ LOPEZ

En mi tesis doctoral y posteriormente, con una beca Fulbright/MEC, estudié la sucesión espectral de foliaciones riemannianas (aquellas con dinámica transversal rígida), mostrando un comportamiento similar a la sucesión espectral de un fibrado. También colaboré en su uso para caracterizar la existencia de una métrica con la que las hojas tengan curvatura media cero. Posteriormente, mi trabajo evolucionó en diversas direcciones, contando con bastantes colaboradores. En primer lugar, se utilizó análisis profundo para demostrar que el flujo de calor a lo largo de las hojas de las foliaciones riemannianas conserva la diferenciabilidad en la variedad ambiente para tiempo infinito, produciendo una descomposición de Hodge a lo largo de las hojas que conserva la diferenciabilidad en la variedad ambiente, una fórmula de la traza para flujos foliados simples sin puntos fijos, y una descripción de la secesión espectral en términos de límites adiabáticos. Todo esto fue sorprendente por el uso de operadores que son sólo elípticos a lo largo de las hojas. Este trabajo atrajo mucho interés, pero se necesitaba más generalidad. Después de resolver muchas dificultades, ampliamos la fórmula de la traza a flujos foliados simples con puntos fijos (la foliación no es riemanniana). En este logro se utilizaron muchos ingredientes nuevos, como espacios de distribuciones conormales, b-cálculo, funciones zeta e invariantes del calor. A este proyecto dediqué gran parte de mi trabajo en los últimos 20 años. En la segunda dirección, ampliamos muchas propiedades de las foliaciones riemannianas a espacios foliados equicontinuos. Esto se convirtió en el estudio de la geometría asintótica de las hojas, las relaciones turbulentas, la coloración de gráfos y las acciones de Cantor. En la tercera dirección, ampliamos la prueba analítica de Witten de las desigualdades de Morse a espacios estratificados, utilizando el oscilador armónico de Dunkl. En la cuarta dirección, algunas de las técnicas utilizadas con las foliaciones riemannianas se aplicaron a las foliaciones simplécticas. Recientemente, comencé tres nuevas colaboraciones. Una es mostrar la existencia de soluciones para algunas EDP hipoelípticas altamente no lineales en grupos de Lie estratificados. Otro es demostrar que existe una perturbación del flujo de calor a lo largo de las hojas para foliaciones transversalmente afines que mantienen la diferenciabilidad transversal para tiempo infinito. Y otra sobre variantes del fluxo de Kähler-Ricci torcido. Además de esta variedad de direcciones, se lograron bastantes resultados relevantes que se publicaron en revistas científicas de gran prestigio, como Amer. J. Math. 111 (1989) e 123 (2001), Trans. Amer. Math. Soc. 329 (1992), J. Differential Geom. 10 (1993), Ann. Global Anal. Geom. 10 (1992), J. Funct. Anal. 99 (1991), Geom. Funct. Anal. 10 (2000), Compositio Math. 125 (2001).