S-espacios generalizados.Subvariedades

Resumen

Introducción: Un problema clásico en Geometría Riemanniana consiste en determinar el tipo de variedad Riemanniana con la que se trabaja, por ejemplo, atendiendo a las expresiones de su tensor de curvatura. Así, es bien conocido que la curvatura seccional de una variedad Riemanniana determina completamente al tensor de curvatura. Cuando la variedad está provista de alguna estructura adicional, es posible a veces obtener información sobre esta estructura a partir de la forma especial del tensor de curvatura. De esta manera, para las variedades casi-Hermíticas, en el contexto de la geometría casi-compleja, F. Tricerri y L. Vanhecke definieron en 1981 el concepto de espacio complejo generalizado, más general que la de espacios complejos de curvatura seccional holomorfa constante y en 2004, P. Alegre, D.E. Blair y A. Carriazo, para la variedades casi-contacto métricas, definieron los espacios Sasakianos generalizados, más generales que los espacios Sasakianos de curvatura ¿-seccional constante. Desarrollo Teórico: En esta memoria y puesto que tanto las variedades casi-Hermíticas como las variedades casi-contacto métrica son f-variedades métricas en el sentido definido por K. Yano en 1963, se introduce la noción de S-espacio generalizado en el contexto de tales f-variedades métricas, mediante la descomposición del tensor de curvatura en varias componentes tensoriales básicas relacionadas con la curvatura seccional con coeficientes funciones diferenciables en la variedad, estudiando, en primer lugar, la unicidad de tal descomposición en término de la dimensión de la variedad. Entonces, los espacios complejos generalizados, los espacios Sasakianos generalizados y las S-variedades y C-variedades (introducidas por D.E. Blair en 1970) de curvatura f-seccional constante, se convierten en los primeros ejemplos de S-espacios generalizados. Además, se presentan otros ejemplos no triviales de tales espacios mediante el uso de diferentes herramientas geométricaS: productos warped, fibraciones toroidales sobre variedades Kaehlerianas y transformaciones conformes de la métrica. También se investigan los S-espacios generalizados dotados de una estructura adicional (f-contacto métrica, f-K-contacto métrica, K-estructura, S-estructura y C-estructura), obteniendo, en cada caso, relaciones entre las funciones que aparecen en la descomposición del tensor de curvatura de la definición. Esto permite conseguir obstrucciones, en término de tales funciones, para que un S-espacio generalizado posea dicha estructura adicional, ilustrando las diferentes situaciones que se presentan mediante el uso de los ejemplos obtenidos anteriormente. Finalmente, se estudian algunas propiedades de las subvariedades de los S-espacios generalizados. Así, se consideran las subvariedades slant no anti-invariantes de tales espacios como contexto más adecuado donde se hereda la estructura y porque constituyen una fuente muy importante donde encontrar nuevos ejemplos no triviales, es decir, con funciones no constantes, de S-espacios generalizados. Además, se investigan ciertas desigualdades en las que intervienen la curvatura de Ricci en una dirección unitaria y ortogonal a los campos de estructura (un invariante intrínseco) y el cuadrado de la norma del vector curvatura media (uno extrínseco) en subvariedades de diferentes tipos, así como las desigualdades de tipo Chen para inmersiones en S-espacios generalizados, prestando especial interés al caso de las inmersiones slant. En todas las desigualdades que aparecen se establecen las condiciones necesarias y suficientes para que se verifique el caso de igualdad y, de nuevo, se utilizan los ejemplos desarrollados en la memoria para ilustrar las diferentes situaciones que se presentan. Conclusión: Por lo tanto, creemos que a lo largo de la memoria, queda claramente establecido que el uso de diferentes tipos de construcciones geométricas se convierte en una herramienta muy importante a la hora de obtener ejemplos interesantes de S-espacios generalizados no triviales y que existe suficiente cantidad de estos ejemplos para que el estudio de tales espacios quede plenamente justificado. Bibliografía: [1] P. Alegre, D.E. Blair, A. Carriazo, Generalized Sasakian-space-forms. Israel J. Math. 141 (2004), 157-183. [2] P. Alegre, A. Carriazo, Generalized Sasakian space forms and conformal changes of the metric. Results Math. 59 (2011), 485-493. [3] P. Alegre, A.Carriazo, Structures on generalized Sasakian-space-forms. 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