Cubiertas y envolventes en categorías de representaciones

Abstract

La tesis se enmarca en el contexto del álgebra homológica, y más concretamente en la teoría de aproximación por cubiertas y envolventes de objetos en una categoría de Grothendieck referida a una cierta clase de subobjetos de la misma. Asociados a tales aproximaciones aparece el grupo de Galois (cuando hablamos de envolventes) y el grupo de coGalois (si aproximamos mediante una cubierta). De este modo la última parte de la memoria está dedicada a desarrollar una teoría dual paralela a la teoría clásica de Galois de extensiones de cuerpos pero para el caso de módulos. Una vez que se desarrollan teoremas generales que aseguran la existencia de cubiertas y envolventes para categorías de Grothendieck, uno de los ejes fundamentales de la tssis es aplicar dichos teoremas para probar que la categoría de haces quasi-coherentes sobre un esquema arbitrario de anillos admite cubiertas planas y envolventes cotorsión. Dentro de la misma, estudiamos en profundidad la categoría de haces quasi-coherentes sobre la línea proyectiva, calculamos de forma efectiva la cubierta plana en algunos casos y damos una demostración alternativa de uno de los teoremas de Grothendieck, concretamente el relativo a la descomposición de un vector bundle en líneas bundless. El punto de vista elegido para tratar con la categoría de haces quasi-coherentes es mediante la categoría de representaciones por módulos de un quiver (con relaciones). De este modo otro de los pilares fundamentales de la memoria es estudiar dicha categoría. Como resultados más destacados relativos a la misma se demuestra cuándo la categoría admite cubiertas proyectivas e inyectivas y se demuestra la existencia de cubiertas planas para una amplia gama de quivers.