Estabilidad de soluciones de ecuaciones elípticas semilineales

Resumo

La presente tesis doctoral es el resultado del trabajo realizado durante cuatro años respecto de soluciones estables y semi-estables, de los cuales algunos resultados han sido publicados mientras que otros se encuentran actualmente esperando respuesta de revistas. El primer trabajo aquí expuesto, corresponde a dar respuesta a la pregunta abierta planteada por Dupaigne y Farina en "Liouville theorems for stable solutions of semilinear elliptic equations with convex nonlinearities" sobre si son o no necesarias unas condiciones (9)-(10) del Teorema 1.1 para dimensiones 1<=N<=9. Para ello, demostramos que toda solución estable (no necesariamente radial) es constante para N=1,2 si la no linealidad del problema se anula en algún punto de un intervalo y es no decreciente, y para 3<=N<=9 construimos un ejemplo para mostrar que las condiciones impuestas son necesarias. Luego extendemos los resultados obtenidos por Villegas en "Asymptotic behavior of stable radial solutions of semilinear elliptic equations in R^N" para el operador laplaciano a problemas con el operador p-laplaciano, donde se ha obtenido estimaciones puntuales óptimas para una solución estable radial con restricciones para p y la dimensión N. En el cuarto capítulo, se detallan los resultados dedicados a establecer estimaciones para soluciones estables del problema del p-laplaciano en la bola unitaria, con una no linealidad localmente Lipschitz. Mejoramos los resultados obtenidos por Cabré, Capella y Sanchón en "Regularity of radial minimizers of reaction equations involving the p-Laplacian", y damos una respuesta afirmativa a la pregunta sobre la posibilidad de eliminar el factor logarítmico en la estimación del ítem c) y d3) del Teorema 1.2 del mismo trabajo , además obtenemos estimaciones puntuales para las derivadas radiales hasta orden 3 para N>=p+4p/(p-1). Finalmente como aplicación de los resultados principales, obtenemos estimaciones óptimas para la solución extremal. En el último capítulo, presentamos problemas de cuarto orden o del bilaplaciano en la bola unitaria. Warnault en "Regularity of the extremal solution for a biharmonic problem with general nonlinearity" demostró que la solución extremal es acotada para dimensiones N<= 9. Por otro lado, en un trabajo anterior Dávila, Dupaigne, Guerra y Montenegro en "Stable solutions for the bilaplacian with exponential nonlinearity" demuestran que para la no linealidad exponencial la solución extremal es acotada para dimensiones N<= 12 y es singular para N>=13, donde queda abierta si la solución extremal es acotada para dimensiones 10<=N<=12 y para una no linealidad general. De lo anterior, hemos demostramos que la solución extremal es acotada para la dimensión N=10, además obtenemos estimaciones cerca del origen para N>=11.