Integración simpléctica de las estructuras de Poisson soportadas por la foliación de Reeb

Abstract

EL TRABAJO TIENE COMO MARCO LA TEORIA DE LOS GRUPOIDES SIMPLECTICOS, Y MAS CONCRETAMENTE UN INTENTO DE CONSTRUIR, PARA LAS ALGEBRAS DE LIE DE DIMENSION INFINITA, UN ANALOGO DEL TERCER TEOREMA DE LIE: DADA UN ALGEBRA DE LIE DE DIMENSION FINITA, EXISTE UN GRUPO DE LIE CONEXO Y SIMPLEMENTE CONEXO, PARA EL QUE EL COTANGENTE SE IDENTIFICA AL PRODUCTO DEL GRUPO POR EL DUAL DEL ALGEBRA,EL PROBLEMA, EN SU FORMA MAS GENERAL, FUE PLANTEADO POR A. WEINSTEIN. DADA UNA VARIEDAD DE POISSON SE TRATA DE CONSTRUIR UN GRUPOIDE DE LIE, CUYO ESPACIO DE UNIDADES SEA LA VARIEDAD, Y PARA EL QUE LAS PROYECCIONES SEAN, RESPECTIVAMENTE, UN MORFISMO Y UN ANTIMORFISMO DE POISSON. EN EL TRABAJO SE CARACTERIZAN LAS ESTRUCTURAS DE POISSON REGULARES SOBRE UNA VARIEDAD POR UN PAR CONSTITUIDO POR UNA FOLIACION REGULAR Y UNA FORMA SIMPLECTICA FOLIADA. DIREMOS QUE LA FOLIACION ES EL SOPORTE DE LA ESTRUCTURA DE POISSON. SE ESTABLECE QUE PARA TODAS LAS ESTRUCTURAS SOPORTADAS POR UNA FOLIACION DE CODIMENSION 1, Y SIN CICLOS EVANESCENTES NO TRIVIALES NI HOJAS ESFERICAS, EXISTE INTEGRACION SIMPLECTICA UNICA. EN CASO EN QUE LA FOLIACION POSEA COMPONENTES DE REEB COMPACTAS NO EXISTE INTEGRACION SIMPLECTICA. SI POSEE COMPONENTES NO COMPACTAS EXISTE INTEGRACION SI Y SOLO SI LA ESTRUCTURA ES PRESIMPLECTICA. COMO APLICACION QUEDAN CLASIFICADAS LAS ESTRUCTURAS DE POISSON REGULARES SOPORTADAS POR UNA FOLIACION DE CODIMENSION 1 SOBRE UNA VARIEDAD COMPACTA DE DIMENSION 3 QUE ADMITEN INTEGRACION SIMPLECTICA. SE DAN ASIMISMO OBSTRUCCIONES A LA RESOLUCION GLOBAL DEL PROBLEMA.