Solitóns asociados a ecuacións de evolución xeométrica e estruturas quasi-Einstein

Resumen

Un dos problemas centrais en xeometría pseudo-riemanniana é a existencia de métricas privilexiadas sobre unha variedade dada. O teorema de uniformación, que asegura a existencia de métricas de curvatua constante sobre unha superficie dada, ten sido obxecto de nmerosas xeneralizacións na procura da existencia de métricas distinguidas en variedades de dimensión superior. A curvatura dunha variedade pseudo-riemanniana, como campo de tensores de tipo (0,4), representa un obxecto de gran complicación, polo que é habitual focalizar o estudo en certas funcións escalares asociadas ao mesmo: os invariantes escalares da curvatura. Para un invariante dado, é posible asociar ao mesmo un funcional sobre variedades compactas que mida o seu comportamento global e, así, intentar caracterizar as métricas críticas para o devandito funcional. Ademais, estúdase a existencia de solitóns para certos fluxos xeométricos. De forma máis concreta, estando interesados na clasificación de solitóns de ricci e de ricci-bourguignon como unha situación intermedia entre s fluxos de ricci e yamabe baixo certas condicións xeométricas. Dado que ambos os solitóns involucran ao tensor de ricci, un debe esperar a existencia de resultados máis concluíntes en situacións nas que o tensor de ricci determine a curvatura: variedades localmente conformemente chás, variedades (anti-)auto-duais, variedades con tensore de weyl harmónico, variedades bach chás, etc. Se ben a situación correspondente aos solitóns de ricci é coñecida, a xeometría dos solitóns de ricci-bourguignon e, en xeral, dos solitóns xeneralizados é aínda un problema aberto.