Numerical study of time-harmonic acoustic problems in layered media using partition of unity finite element methods

Resumo

Son numerosos los problemas de la física y de la ingeniería cuyos modelos matemáticos involucran la propagación de ondas acústicas (reducción de ruido, acústica submarina, ensayos no destructivos...) La diversidad matemática de dichos problemas hace necesario el empleo de una amplia variedad de modelos numéricos. La ecuación de Helmholtz es ampliamente utilizada como modelo de referencia en problemas de propagación acústica armónicos en tiempo. La precisión de las aproximaciones numéricas de los problemas de Helmholtz se basa en métodos discretos libres de polución, que deberían tener un comportamiento robusto respecto al número de onda. El método de partición de la unidad basado en elementos finitos (PUFEM) (véase [2]) será el método libre de polución, escogido de entre todos ellos, utilizado a lo largo de esta tesis. En el primer capítulo de esta tesis, se deducirán estimaciones de error a priori para una discretización PUFEM sobre un problema de Helmholtz unidimensional en un medio homogéneo, en términos del número de onda k, el tamaño de malla h y un parámetro de perturbación adicional δ . Muchos de los problemas acústicos de interés tienen lugar en medios heterogéneos. Esto hace necesario plantear problemas aproximados que resuelvan problemas acústicos en medios con varias capas. En el segundo capítulo, se trabaja con varios problemas de Helmholtz. En primer lugar, se considera un problema de Helmholtz unidimensional en un dominio multicapa y se propone un método PUFEM que tiene en cuenta cada transmisión y reflexión ocurridas en cada elemento de la malla. El segundo problema considerado es un problema de Helmholtz bidimensional con número de onda constante, especificándose algunas de las técnicas de integración propuestas para calcular la solución aproximada. Finalmente, el ultimo problema considerado en este capítulo se ocupa de problemas de Helmholtz en medios bicapa. Se define el espacio discreto como el subespacio generado por funciones de elementos finitos Lagrange P1 standard, multiplicadas por funciones tipo onda plana, teniendo en cuenta a la transmisión y reflexión ocurrida en cada triángulo de la malla. El desarrollo de técnicas para encontrar grietas en el interfaz entre dos materiales es de vital importancia en la detección temprana de posibles defectos en estructuras como tuberías con revestimientos. Las técnicas más utilizadas en ensayos no destructivos, como las corrientes de Foucault, están limitadas a problemas donde la fuente desde la que se envía la onda está cerca de la grieta. La posibilidad de utilizar ondas de Love para encontrar un defecto que esté lejos de la fuente ha sido sugerida recientemente (véase [1]). Es básico en este tipo de detecciones conocer a priori la solución del problema sin grieta. El objetivo del último capítulo de la tesis es ofrecer una herramienta para aproximar la solución de estos problemas sin grieta en medios bicapa. Para ello, se propone un método PUFEM que involucra ondas de Love. Una amplia batería de resultados numéricos ilustran la precisión del método PUFEM modal propuesto, y describen el deterioro de los resultados numéricos debido al alto número de condicionamiento de la matriz discreta. [1] P. Destuynder and C. Fabre. Can we hear the echos of cracks? Journal of Elasticity, 2017. doi:10.1007/s10659-017-9632-7. [2] J. M. Melenk and I. Babŭska. The partition of unity finite element method: basic theory and applications. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 139(1):289–314, 1996. [3] P. Ortiz and E. Sánchez. An improved partition of unity finite element model for diffraction problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 50(12):2727–2740, 2001.