Numerical analysis of second order Lagrange-Galerkin schemes. Application to option pricing problems.

Resumo

En esta tesis se estudia la resolución numérica de ecuaciones lineales, y no lineales, de tipo convección-difusión-reacción mediante un método de Lagrange-Galerkin de orden dos, El estudio ha sido motivado por una aplicación en finanzas: la valoración de productos financieros de tipo derivado usando ecuaciones en derivadas parciales. Más detalladamente, el método de Lagrange-Galerkin se introduce usando el formalismo de la mecánica de los medios continuos y formulaciones débiles. Después, se establecen rigurosamente las propiedades de estabilidad y consistencia (orden dos) del algoritmo. Además, se aborda el problema de la cuadratura numérica, proponiendo fórmulas de cuadratura para elementos finitos de Lagrange, lineales y cuadráticos, que preservan la estabilidad del método (como se comprueba mediante un análisis de Fourier). Finalmente, se muestran algunos ejemplos numéricos obtenidos mediante un código implementado en FORTRAN, que ilustran y completan nuestro análisis. Con respecto a la aplicación en finanzas, se realiza una introducción a la modelización en finanzas en el marco de Black-Scholes, centrándonos en un tipo particular de opciones financieras: las opciones asiáticas, para las que se deducen algunas propiedades originales y se formula el problema matemático de valoración de las mismas. En el caso de las opciones asiáticas de tipo europeo, se realiza la resolución numérica del problema de valoración empleando los métodos de Lagrange-Galerkin analizados, atendiendo a las particularidades del problema concreto (por ejemplo, se optimiza la estructura algebraica del algoritmo). En el caso de las opciones asiáticas de tipo americano, su resolución numérica combina un algoritmo iterativo con los métodos de Lagrange-Galerkin. Más precisamente, se han comparado dos algoritmos basados en la formulación mixta del problema: el algoritmo de Bermúdez-Moreno y un algoritmo de conjunto activ