Conjetura de Baum-Connes y foliaciones casi sin holonomia

Abstract

A, CONNES (THEOREME DE L'INDICE POUR LES FEUILLETAGES, C.R. ACAD. SC. PARIS 292, 871-876, 1981) INTRODUCE LA NOCION DE C*-ALGEBRA ASOCIADA A UNA FOLIACION (M, F), COMO LA C*-ALGEBRA REDUCIDA C*(G) DEL GRUPOIDE DE HOLONOMIA G DE LA VARIEDD FOLIADA. LA K-TEORIA DEL ESPACIO DE LAS HOJAS DE LA FOLIACION, K*(M/F), ESTA DEFINIDA COMO LA K-TEORIA ANALITICA DE C*(G). PARA CALCULAR ESTE OBJETO ANALITICO, K*(C*(G)), EN TERMINOS PURAMENTE GEOMETRICOS, A. CONNES INTRODUCE UNA K-TEORIA GEOMETRICA ADAPTADA A LAS FOLIACIONES, K*(BG), QUE UTILIZA EL CLASIFICANTE DEL GRUPOIDE DE HOLONOMIA DE LA FOLIACION. LOS OPERADORES ELIPTICOS PROPORCIONAN UNA APLICACION CANONICA DE K*(BG)EN K*(C*(G)). LA CONJETURA DE BAUM-CONNES AFIRMA QUE ESTA APLICACION ES UN ISOMORFISMO, CUANDO LOS GRUPOS DE HOLONOMIA SON LIBRES DE TORSION, LO CUAL PROPORCIONARIA UNA INTERPRETACION GEOMETRICA DE K*(M/F). ESTA CONJETURA SE HA COMPROBADO YA EN CASOS SENCILLOS DE FOLIACIONES: FOLIACIONES DEFINIDAS POR FIBRACIONES (A. CONNES, THEOREME DE L'INDICE POUR LES FEUILLETAGES, C.R. ACAD. SC. PARIS 292, 871-876, 1981), FOLIACIONES DEFINIDAS POR ACCIONES LIBRES DE RN (A. CONNES, AN ANALOGUE OF THE THOM ISOMORPHISM FOR CROSSED PRODUCTS OF A C*-ALGEBRA BY AN ACTION OF R, ADVANCES IN MATHS. 39, 31-55, 1981), FOLIACIONES DE REEB (A.M. TORPE, K-THEORY FOR THE LEAF SPACE OF FOLIATIONS BY REEB COMPONENTS, J. OF FUNCT. ANAL. 61, 15-71, 1985), FOLIACIONES SIN HOLONOMIA (T. NATSUME, TOPOLOGIAL K-THEORY FOR CODIMENSION ONE FOLIATIONS WITHOUT HOLONOMY, PROC. SYMPOSIUM FOLIATIONS, TOKYO 1983, ADV. STUD. PURE MATH. 5, 15-27, 1985) Y (M. MACHO STADLER, LA CONJECTURE DE BAUM-CONNES POUR UN FEUILLETAGE SANS HOLONOMIE DE CODIMENSION UN SUR UNE VARIETE FERMEE, PUBLICACIONS MATEMATIQUES 33, N.3, 445-457,1989), Y EN VARIOS CASOS DE FOLIACIONES NO TRIVIALES. EL OBJETO DE ESTA MEMORIA ES EL DE COMPROBAR LA CONJETURA PARA FOLIACIONES CASI SIN HOLONOMIA DE TIPO FINITO, DE CODIMENSION UNO, SOB