Estudio matemático de algunos problemas no lineales de la mecánica de fluidos incompresibles

Resumo

La Memoria trata sobre el análisis de la existencia y unicidad de solución para ecuaciones en derivadas parciales estocásticas con retardos en un contexto variacional. En ella también se realiza un análisis del comportamiento asintótico de las soluciones de sistemas diferenciales estocásticos, tanto en el caso en el que no haya características hereditarias como en el que la ecuación contenga retardos. La Introducción del Trabajo tiene por principal objeto la motivación de los problemas planteados junto con una breve descripción de las técnicas que serán usadas en el resto de los Capítulos para la resolución de aquellos. En el Capítulo 2 se introduce una síntesis de conceptos y resultados básicos concernientes al Análisis Estocástico, la mayoría de los cuales sirven de base para la Memoria. Entre otros, se describe la construcción de la integral con respecto de un proceso de Wiener, así como sus propiedades más significativas, destacando entre todas ellas las distintas fórmulas de Ito, que son herramientas básicas a lo largo de todo el trabajo. Los Capítulos 3 y 4 se dedican al análisis de la existencia y unicidad de solución para ecuaciones en derivadas parciales estocásticas con retardos. Concretamente, en el Capítulo 3 se presentan resultados relativos a una ecuación en derivadas parciales estocástica de tipo parabólico, es decir, de primer orden en tiempo, bastante general, y con características hereditarias, donde los retardos son de tipo variable. La demostración del resultado principal sobre existencia de solución se estructura en dos etapas. En la primera, usando un esquema de Galerkin, se analiza una versión simplificada del problema. En la segunda, se demuestra la existencia de solución usando un esquema de Picard adecuado. Motivados por los resultados obtenidos para un sistema diferencial estocástico de tipo parabólico con retardos, en el Capítulo 4 se ha planteado obtener resultados similares caso de que la ecuación sea de segundo orden en tiempo. Se comienza estudiando la existencia de solución para un problema "relacionado" con el problema general. Posteriormente, se plantea un sistema en el que aparecen dos retardos independientes, pero verificando hipótesis parecidas. El resultado que se obtiene para este problema es clave para poder demostrar, junto con un esquema de Galerkin, la primera de las etapas en las que se divide el teorema principal. Se finaliza la segunda etapa teniendo en cuenta la primera y un esquema de Picard. El Capítulo 5 se dedica a un análisis del comportamiento asintótico de sistemas diferenciales estocásticos, tanto en el caso que no existan retardos como en el que sí. Fundamentalmente se ha centrado en la ecuación de tipo parabólico, para la que se obtienen resultados de estabilidad trayectorial de una manera directa, es decir, sin necesidad de establecer resultados de estabilidad en media cuadrática. Además, el decaimiento que se analiza no es, en general, de tipo exponencial, sino que se trabaja con funciones de decaimiento más generales. Posteriormente, los resultados obtenidos relativos a estabilidad casi segura de las soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas de tipo parabólico se aplican a la estabilización de sistemas deterministas y estocásticos. Más concretamente, si el ruido no causa estabilidad exponencial, o no se sabe determinar si el tema perturbado estocásticamente es o no exponencialmente estable, se investiga si el ruido produce algún tipo de estabilidad más débil, o incluso más fuerte. También se dan algunos criterios para la construcción de estabilizadores de tipo feedback. En este último Capítulo también se exponen algunos resultados relativos a la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas de segundo orden en tiempo. En concreto, se analiza la estabilidad exponencial en media cuadrática y, a partir de ahí, la estabilidad exponencial trayectoria del sistema.