Algunas contribuciones al estudio del error en los métodos espectralesoptimalidad de los métodos de Jacobi y estudio del método de Patching

Abstract

Esta tesis se centra en la obtencion de estimaciones de error para los metodos espectrales, en la primera parte, se mejoran las estimaciones de error conocidas para la discretizacion, por el metodo de colocacion-jacobi, de un problema -eliptico bidimensional en un dominio cuadrado. Para ello, se utiliza la descomposicion de la solucion en una parte regular, que se aproxima en los espacios con peso estandar, y una parte que contiene las singularidades, que se aproximan de manera optima en una nueva familia de espacios con peso, para lo cual se estudian estos nuevos espacios y se establecen resultados de aproximacion polinomica en ellos. En la segunda parte se considera la discretizacion espectral en multidominio de un problema eliptico, usando para imponer las condiciones de acoplamiento el llamado metodo de "patching". En el caso monodimensional, se mejora la estimacion conocida para el esquema que usa los nodos de gauss-lobatto-legendre, probando que es del mismo orden que la del metodo de los elementos espectrales; asimismo se prueba, mediante la formulacion de un nuevo esquema, la imposicion puntual de las condiciones de acoplamiento causa una perdida de optimalidad en la estimacion de error. Para el caso bidimensional se demuestra la existencia y unicidad de solucion del esquema discreto del metodo de "patching" y se obtiene una estimacion de error, cuyo orden es inferior en una unidad a la del metodo de elementos espectrales. Por ultimo, se demuestra la optimalidad de la discretizacion por colocacion de un problema mixto particular, tras establecer algunos resultados de aproximacion espectral uniforme de autofunciones y de ciertas funciones regulares.