Esquemas de orden alto sobre mallas de Shishkin para problemas de perturbación singular

Resumo

Problemas de perturbación singular aparecen en numerosos campos de la matemática aplicada, Particularmente, la mecánica de fluidos, la dinámica de gases, la teoría de la elasticidad en el estudio de pandeo de placas o la teoría de semiconductores, son ejemplos que conducen a ecuaciones diferenciales en las que, tras un proceso de adimensionalización, se revela la existencia de un pequeño parámetro que afecta a los términos de mayor orden y que de forma general se llama parámetro de perturbación. En los últimos diez años, el foco de atención más importante en el campo de la integración numérica de problemas de perturbación singular ha sido el desarrollo de métodos sobre mallas especiales para obtener resultados de convergencia uniforme. En esta dirección han cobrado especial importancia un tipo de mallas uniformes a trozos introducidas por G.I. Shishkin. En esta memoria se han construido métodos en diferencias sobre mallas de Shishkin uniformemente convergentes de orden alto, tanto para problemas de convección-difusión como de reacción- difusión 1D. En la obtención de estos métodos se han utilizado dos técnicas diferentes. Una de ellas trabaja en la línea de Lynch y Rice (métodos HODIE) y en la otra se modifica un esquema incorporándole ciertas aproximaciones de su término principal del error local para aumentar su orden de convergencia (métodos HOC). La segunda técnica también nos ha permitido deducir un método de orden mayor que uno para un problema bidimensional de convección-difusión con capas regular y parabólicas. Además de exponer la forma de obtener los esquemas de orden alto, se ha realizado un riguroso análisis de su convergencia. Un buen número de experiencias numéricas confirman los resultados teóricos sobre el orden de convergencia.