Numerical analysis and simulations in bone remodeling models

Resumo

La relación entre la estructura del hueso y las fuerzas mecánicas que actúan sobre él han sido estudiada desde, al menos, el siglo XVII. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX cuando se describió la relación entre la forma del hueso y su función. El cirujano alemán Julius Wolff estableció que no sólo existe una relación entre la estructura del hueso y las cargas a las que es sometido, sino que además el hueso vivo se adapta a las alteraciones en estas cargas cambiando su estructura interna. Este proceso se denomina remodelación ósea y esta afirmación se conoce como la ley de Wolff. La investigación experimental ha confirmado, a lo largo de los años, la veracidad de esta afirmación, mostrando que incluso en la edad adulta el hueso puede adaptar su estructura en respuesta a las cargas a las que está siendo sometido. El principal objetivo de esta tesis es realizar la simulación numérica y desarrollar el análisis matemático de algunos modelos de remodelación ósea, con los que somos capaces de predecir el comportamiento del tejido óseo y su capacidad de adaptarse a las cargas aplicadas. Estos modelos se utilizan habitualmente para predecir la respuesta del hueso cuando se implanta una prótesis, se aplican cargas inusuales o para diseñar mejores implantes cambiando la geometría, el material o incluso la localización. Aunque los trabajos sobre modelos de remodelación ósea han proliferado en los últimos años, son escasos los trabajos matemáticos de análisis de dichos modelos en aspectos como la existencia y unicidad de solución débil o su regularidad, y de algoritmos para su resolución numérica, limitándose tan sólo a trabajos experimentales sin un análisis numérico riguroso. Utilizando las herramientas usuales del análisis funcional aplicado a las ecuaciones en derivadas parciales se han estudiado matemáticamente algunos de los modelos de formación de huesos más usuales: el propuesto por Cowin y Hegedus (Bone remodeling I: a theory of adaptive elasticity, Journal of Elasticity 6 (1976), 313-326) y el modelo de Weinans, Huiskes y Grootenboer (The behavior of adaptative bone-remodeling simulation models, Journal of Biomechanics 25 (1992) 1425--1441), se han propuesto y analizado esquemas de aproximación numérica para dichos modelos utilizando el Método de los Elementos Finitos (MEF). Se han implementado en ordenador y han sido validados con diferentes problemas test. El proceso de adaptación del hueso a las cargas mecánicas que actúan sobre él se realiza por las células óseas. Sin embargo, no está claro como estas células son capaces de controlar la reabsorción y formación de hueso en función de estas condiciones mecánicas. Fukada y Yasuda probaron en 1957 que el hueso es un material piezoeléctrico en el sentido clásico, es decir, las cargas mecánicas aplicadas producían una polarización en el hueso. Además, poco después se verificó el efecto inverso: la aplicación de un potencial eléctrico producía una deformación. Desde entonces, las propiedades eléctricas de los huesos han sido ampliamente estudiadas y se cree que las señales eléctricas en el tejido óseo juegan un papel importante en el proceso de remodelado. Sin embargo, apenas existen modelos matemáticos que justifiquen la remodelación ósea basada en el efecto piezoeléctrico. En el último capítulo de esta tesis se propone un nuevo modelo, en el que el hueso es considerado un material piezoeléctrico. Se ha utilizado el modelo propuesto por Weinans, Huiskes y Grootenboer para caracterizar las propiedades elásticas del hueso y las leyes constitutivas clásicas para materiales piezoeléctricos, con una pequeña variación que regula el acoplamiento entre el campo eléctrico y el mecánico, garantizando que el efecto del campo eléctrico depende de la densidad ósea. Al igual que para los modelos anteriores, se ha formulado matemáticamente este modelo, se ha propuesto y analizado un esquema de aproximación numérica utilizando el Método de los Elementos Finitos y se ha implementado en ordenador, validándolo con diferentes problemas test.