Un acercamiento algebraico a la teoría de torres de Postnikov

Resumo

La torre de Postnikov de un espacio es una cadena de fibraciones, las cuales representan los invariantes cohomológicos de un espacio (los "invariantes de Postnikov"), y cuyas fibras son espacios del tipo K(PI, n). La torre de Postnikov de un espacios, todos los objetos Xn son espacios y cada invariante de Postnikov Kn+1 es un elemento en la cohomología singular del espacio Xn. En esta memoria mostramos que es posible usar una aproximación puramente algebraica para determinar, salvo homotopía, la torre de Postnikov y los invariantes de Postnikov de un espacio. Esta aproximación a la torre de Postnikov está basada en la idea de que podemos sustituir cada espacio Xn, que es un n-tipo, por un "objeto algebraico", Pn(X) que es un modelo para los n-tipos. Entonces en nuestra aproximación cada piso de la torre de Postnikov estará construida en una categoría diferente, así el primer piso se construirá en una categoría (S0) que modela los 0-tipos el primer invariante K1 será un elemento en una cohomología que debe estar definida en la categoría S0, el segundo piso estará construido en una categoría algebraica (S1) que modele los 1-tipos y el segundo invariante de Postnikov k2 será un elemento de una cohomología definida en la categoría S1, y así sucesivamente. Trasladamos esta aproximación algebraica a la teoría de torres de Postnikov a dos categorías de modelos de espacios: la categoría de complejos cruzados y la categoría de grupoides simpliciales. Presentando diversas aprotaciones de cada uno de los contextos, aportaciones que no solo van dirigidos al estudio de la teoría de torres de Postnikov, sino que por si mismos proporcionan datos relevantes en el estudio de estas categorías.