Doubly warped structures on semi-riemanian manifolds

Abstract

TÍTULO DE LA TESIS: Doubly warped structures on semi-Rlemannlan manlfolds. RESUMEN: Las generalizaciones más importantes del clásico teorema de descomposición de De Rham-Wu fueron obtenidas por N. Koike en 1990 y R. Ponge y H. Reckziegel en 1993. Para ello, estos autores consideraron una variedad semi-Riemannian con dos foliaciones ortogonales y complementarias que cumplen ciertas condiciones geométricas. Este punto de vista es bastante natural, ya que la hipótesis de reducibilidad débil del teorema de De Rham-Wu da lugar a dos foliaciones ortogonales, complementarias y geodésicas. En cualquier caso, la simple conexión de la variedad siempre es asumida, lo cual es una fuerte restricción topológica. El primer intento de eliminar esta restricción fue hecho por P. Wang en 1973, quien obtuvo condiciones necesarias y suficientes para que una variedad riemanniana con dos foliaciones ortogonales, complementarias y geodésicas sea el producto directo de dos hojas. Este autor usó técnicas típicamente riemannianas lo cual nos ha motivado a desarrollar nuevas herramientas que permitan abordar el problema anterior en un ambiente semi-riemanniano y para foliaciones más generales que las geodésicas. En concreto, hemos considerado variedades semi-riemannianas con un par de foliaciones complementarias, ortogonales, umbílicas y con vector de curvatura media cerrado, probando resultados acerca de su estructura y obteniendo las condiciones necesarias y suficientes para descomponer globalmente como un producto alabeado doble. Por otro lado, el problema de la unicidad de la descomposición no ha sido tratado en la literatura matemática, excepto en el propio teorema de De Rham-Wu y en el trabajo de J.H. Eschenburg y E. Heintze, donde se establece la unicidad de la descomposición como producto directo de una variedad riemanniana. El uso de las técnicas desarrolladas en esta memoria nos ha permitido obtener la unicidad para productos directos semi-riemannianos y espacios estáticos y Robertson-Walker generalizados.