Estudio del operador de Jacobi en geometría semi-riemanniana

Zusammenfassung

En la memoria se estudian los operadores de Jacobi en variedades semi-Riemannianas desde dos puntos de vista, Por un lado se analiza la constancia de los autovalores de dichos operadores y, por otra parte, se estudian ciertos casos en los que los operadores de Jacobi presentan un autoespacio distinguido. Así, en el Capítulo 1 se analiza la situación de estos dos problemas en los marcos Riemanniano y Lorentziano, como paso previo al estudio del caso semi-Riemanniano. En cuanto al estudio de los autovalores, estrechamente relacionado con el problema de Osserman, en el Capítulo 2 se construyen varias familias de nuevos ejemplos de espacios de Osserman semi-Riemannianos. En concreto, se muestra la mayor complejidad y la existencia de profundas diferencias en el estudio de la condición de Osserman en geometría semi-Riemanniana, construyendo variedades de Osserman con métrica de cualquier signatura (p,q), p,q mayor o igual a 2, que no son localmente simétricas (en realidad, ni siquiera localmente homogéneas). Estos nuevos ejemplos motivan el estudio de una clase particular de espacios de Osserman: las variedades de Osserman especiales, mostrándose en el tercer capítulo que son localmente simétricas y clasificándolas cuando la dimnesión es distinta de 16 y 32. En esta clasificación aparecen cuatro familias de variedades de Osserman especiales. Para dos de ellas, las variedades Kahler indefinidas de curvatura seccional holomorfa constante y las variedades cuaterniónicas Kahler indefinidas de curvatura seccional cuaterniónica constante, diversos autores han analizado la constancia de la curvatura a partir de la existencia de autoespacios distinguidos de los operadores de Jacobi. La no existencia de estudios similares para las otras dos familias, las variedades para-Kahler de curvatura seccional paraholomorfa constante y las variedades paracuaterniónicas Kahler de curvatura seccional paracuaterniónica constante, mot