Control y pluma térmicados perspectivas de un problema de convección

Resumo

La convección térmica es un fenómeno importante en la naturaleza que está detrás de de la dinámica de sistemas a grandes escalas como la atmósfera, los océanos o el interior de estrellas y planetas, ¿Cómo ocurre el fenómeno de convección? Cuando una capa de fluido (en reposo) es calentada uniformemente por debajo, se crea un gradiente de temperaturas. Para un valor crítico de dicho gradiente, el estado conductivo (velocidad nula) se vuelve inestable y un estado convectivo (que en el caso más simple toma la forma de rollos ascendiendo desde la zona caliente hacia arriba) es observado. Este fenómeno, conocido como convección de Rayleigh-Bénard es uno de los sistemas convectivos más estudiados, en el que la variación de la densidad en presencia de la gravedad origina el movimiento del fluido. Desde el primer trabajo experimental en convección hecho por H. Bénard en 1900 hasta nuestros días, numerosos trabajos experimentales ,teóricos y numéricos relativos a la convección de Rayleigh- Bénard han sido desarrollados. En geometría anular con un perfil de calentamiento lineal en la parte inferior y considerando gravedad y tensión superficial, resultados numéricos recientes muestran la importancia de los gradientes de temperatura horizontal y vertical en el desarrollo de inestabilidades. Ondas termocapilares y termogravitatiorias aparecen dependiendo de los parámetros físicos. Estos resultados han sido testados con experimentos. En el presente trabajo, consideramos un problema de Rayleigh-Bénard en un cilindro con calentamiento localizado en la tapa inferior mediante un perfil Gaussiano de temperatura. Así, aparte de los gradientes de temperatura horizontal y vertical, se introduce un parámetros que permite considerar diferentes perfiles de temperatura localizados en el centro del cilindro aproximando a una pluma térmica. El principal objetivo del trabajo se centra en el estudio del tipo de inestabilidades desarrolladas dependiendo de los parámetros relacionados con el calor, que definen el perfil de temperatura en la tapa inferior. Dependiendo de los valores de dichos parámetros una gran variedad de estructuras tridimensionales aparecen: espirales gigantes de un solo brazo o de varios brazos localizadas en el centro del cilindro o extendidas a lo largo de toda la celda, estructuras estacionarias localizadas en la parte externa del cilindro, etc. El método numérico utilizado en el estudio está basado en un método de Chebyshev colocación mostrando ser una herramienta muy eficiente para el estudio de estos problemas termoconvectivos. El estudio de inestabilidades hidrodinámicas es una de las áreas de la matemática aplicada en la que autovalores y autofunciones de operadores lineales son importantes. La habilidad para aproximar estas cantidades numéricamente es relevante y con una gran variedad de aplicaciones. El estudio numérico de las inestabilidades desarrolladas en el sitema dependiendo de los parámetros físicos requiere un método numérico eficiente para el cálculo de autovalores del problema de autovalores generalizado derivado. Este ha sido otro de los objetivos del presente trabajo. El uso de la transformación de Cayley y una segunda transformación del problema de autovalores para el tratamiento de los autovalores infinitos nos ha permitido diseñar un algoritmo rápido y eficiente basado en el método de Arnoldi para determinar el autovalor crítico que describe si el flujo es estable o inestable. Los flujos termoconvectivos aparecen, además de en la naturaleza, en numerosas aplicaciones industriales. Por ejemplo, inestabilidades termoconvectivas son responsables de estados convectivos no deseados en procesos de formación de aleaciones, etc. En estos procesos es importante evitar estructuras convectivas para conseguir materiales homogéneos y resistentes. En la última parte del presente trabajo, abordamos un problema de control óptimo para el problema de Rayleigh-Bénard con calentamiento localizado estudiado en la primera parte. En concreto, buscamos un flujo de calor en la tapa superior del cilindro que minimice la enstrofía del flujo. Más específicamente, el problema de control es formulado como un problema de optimización con restricciones que minimiza un funcional que involucra la vorticidad del flujo y el flujo de calor en la frontera superior del dominio. Las condiciones de optimalidad derivadas son resueltas usando de nuevo Chebyshev colocación. Del estudio se obtienen tres resultados importantes. En primer lugar, hemos comprobado que las técnicas de control óptimo pueden ser usadas para evitar la formación de estructuras convectivas en los estados básicos. Segundo, los estados básicos controlados encontrados presentan una fuerte reducción en el valor de la enstrofía y tercero, podemos concluir que flujos de calor adecuados en la frontera superior conducen a nuevos estados controlados muy fuertes y estables para los que las inestabilidades termoconvectivas son evitadas.