Extensiones abelianas, cruzadas y 2-extensiones cruzadas de módulos cruzados

Abstract

La memoria realiza un estudio muy completo de las extensiones en la categoría de módulos cruzados, Estudia el concepto de cuadrado cruzado, introducido por Loday, y resuelve una conjetura planteada por Ellis "intuitivamente una conjetura planteada por Ellis "intuitivamente un cuadrado cruzado es un módulo cruzado en la categoría de módulos cruzados". Utilizando las derivaciones de un módulo cruzado y las extensiones abelianas de módulos cruzados se da una sucesión exacta, y natural, de cinco términos que generaliza la conocida sucesión de cinco términos en cohomología de grupos. Dicha sucesión es ampliada a ocho términos mediante las 2-extensiones cruzadas, que generalizan las 2-extensiones especiales de un grupo G por un G-módulo A. Finaliza la memoria estudiando la teoría de obstrucción de extensiones de módulos cruzados obteniendo una generalización de los resultados clásicos de la teoría de grupos: a) a cada núcleo abstracto le corresponde un elemento, su clase, del tercer grupo de cohomología; b) un núcleo abstracto procede de una extensión, si y sólo si, su clase de obstrucción es cero; c) las extensiones de módulos cruzados que proceden del mismo núcleo abstracto están en correspondencia biyectiva con las extensiones abelianas de módulos cruzados (generalización del 2 grupo de cohomología).